Question

已知关于AC的函数f（x）=x|x-2a|-4x，x∈[2，6]．
（1）当a=2时，求f（x）的单调性；
（2）当a≥1时，求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）去绝对值再讨论单调性，（2）讨论求最值．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=x|x-4|-4x=

-x2，x∈[2，4] x2-8x，x∈(4，6]

，
则f（x）在[2，4]上单调递减，在（4，6]上单调增．
（2）①当a=1时，f（x）=x²-6x=（x-3）²-9，
则f（x）_max=f（6）=0；
②当1＜a＜3时，f（x）=

-x2+2(a-2)x，x∈[2，2a] x2-2(a+2)x，x∈[2a，6]

，
分析可知，f（x）的最大值为f（2）或f（6）；
∵f（2）-f（6）=16（a-

3

2

）；
则当1＜a≤

3

2

时，f（x）_max=f（6）=-12（a-1）；
当

3

2

＜a＜3时，f（x）_max=f（2）=4a-12；
③当a≥3时，f（x）=-x²+（2a-4）x，
当3≤a≤6时，f（x）_max=f（2）=4a-12；
当a＞6时，f（x）_max=f（6）=12a-50．
综上所述，f（x）_max=

-12(a-1)，1≤a≤ 3 2 4a-12， 3 2 ＜a≤6 12a-50，a＞6

．

点评：本题考查了函数的单调性与最值，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．