Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

cosωx•cos（

π

2

-ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的对称中心；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x），根据题意求出ω以及f（x），即可求出对称中心；
（Ⅱ）由f（x）是三角函数，根据三角函数的单调性，求出它的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²ωx+

3

cosωx•cos（

π

2

-ωx）
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∴根据题意

T

2

=

π

2

，即T=π，
∴

2π

2ω

=π，即ω=1；
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

；…（4分）
令2x-

π

6

=kπ，则x=

kπ

2

+

π

12

，
∴对称中心为(

kπ

2

+

π

12

，0)(k∈Z)；…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∴2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）；
即x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)时，f（x）为单调递增函数；…（8分）
又∵x∈[0，π]，
∴k=0时，x∈[0，

π

3

]，k=1时，x∈[

5π

6

，π]；
∴f（x）的单调递增区间为[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．…（12分）

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了三角函数图象的对称性以及单调性问题，是基础题目．