Question

设函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a．
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为

3

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

，易得周期，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得单调区间；
（Ⅱ）由x∈[-

π

6

，

π

3

]可得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，进而由题意可得a的方程，解方程可得a值，可得解析式．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

，
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴函数的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴函数f（x）的最大值与最小值的和为（1+a+

1

2

）+（-

1

2

+a+

1

2

）=

3

2

，解得a=0
∴f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

点评：本题考查三角函数的公式，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．