Question

已知函数f（x）=

x3

3

+

1

2

ax²+2bx+c的两个极值分别为f（x₁）和f（x₂），若x₁和x₂分别在区间（-2，0）与（0，2）内，则

b-2

a-1

的取值范围为（　　）

• A、（-2，

  2

  3

  ）
• B、[-2，

  2

  3

  ]
• C、（-∞，-2）∪（

  2

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，-2]∪[

  2

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．

解答： 解：求导函数可得f'（x）=x²+ax+2b
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈（-2，0），x₂∈（0，2），
等价于f'（-2）＞0，f'（0）＜0，f'（2）＞0．
∴

2-a+b＞0 b＜0 2+a+b＞0

满足条件的（a，b）的平面区域为图中阴影部分，三角形的三个顶点坐标为A（-2，0），B（0，-2），C（2，0），

b-2

a-1

表示（a，b）与点（1，2）连线的斜率，由图可知故A点的斜率为

2-0

1+2

=

2

3

，
过B点的斜率为

2+2

1-0

=4，过C点的斜率为

2-0

1-2

=-2，
∴

b-2

a-1

的取值范围为（-∞，-2]∪[

2

3

，+∞）．
故选D．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，属于中档题．