Question

已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=-5．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；          
（Ⅱ）设b_n=

1

a2n-1a2n+1

求{b_n}的通项公式
（Ⅲ）仔细观察下式

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）=1-

1

5

=

4

5

，并求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接建立方程组求解，确定数列的通项公式
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求出数列{b_n}的通项公式
（Ⅲ）利用相消法求数列的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设：等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵S₃=0，S₅=-5，
解得：a₁=1，d=-1，
a_n=2-n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a_2n-1=3-2n  a_2n+1=1-2n，
所以：bn=

1

a2n-1a2n+1

=

1

(2n-1)(2n-3)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：b_n=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)，
sn=b1 +b2+…+bn=

1

2

[(-1-1)+(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)]=-

n+1

2n+1

，
故答案为：（Ⅰ）a_n=2-n．
（Ⅱ）bn=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)；
（Ⅲ）sn=-

n+1

2n+1

；

点评：本题考查的知识要点：等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，利用相消法求数列的和．