Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．
（Ⅰ）求cos（B+C）的值；
（Ⅱ）若${S_{△ABC}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列以及正弦定理以及已知条件，通过两角和的余弦函数以及余弦定理求cos（B+C）的值；
（Ⅱ）利用第一问的结果，通过${S_{△ABC}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$，即可求c的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴sinA+sinB=2sinC，（1分）
由正弦定理得a+b=2c，（3分）
又a=2b，可得$b=\frac{2}{3}c$，（4分）]
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\frac{4}{9}{c^2}+{c^2}-\frac{16}{9}{c^2}}}{{2×\frac{2}{3}{c^2}}}=-\frac{1}{4}$，（6分）
∵A+B+C=π，∴B+C=π-A，
∴$cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA=\frac{1}{4}$．（8分）
（Ⅱ）由$cosA=-\frac{1}{4}$，得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，（9分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{c^2}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}$，（10分）
∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$，解得$c=4\sqrt{2}$．（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和的三角函数，考查计算能力．