Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）

• A、

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• B、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  3

  -

  y2

  6

  =1
• D、

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意因为圆C：x²+y²-6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程，解出它们，即可得到所求方程．

解答： 解：因为圆C：x²+y²-6x+5=0?（x-3）²+y²=4，
由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，
又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，
而双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∴a²+b²=9①
又双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，
而双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

x⇒bx±ay=0⇒

3b

a2+b2

=2②
联立①②，解得：

b=2 a2=5

．
∴双曲线的方程：

x2

5

-

y2

4

=1．
故选B．

点评：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．