Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离.

（1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值；

（2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；

（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小.

Answer 1

【答案】(1)；(2)，理由见详解；(3)，证明见详解.

【解析】

(1)根据定义表示出，然后结合点在双曲线上计算出的值；

(2)假设存在满足条件，计算出的值，令，即可求解出满足条件的的值；

(3)根据新定义得到的结果，根据条件得到的范围，将的范围代入到中利用基本不等式即可比较出与的大小，即可比较出与的大小.

(1)由题设可知：设，所以，

所以，

又因为，所以；

(2) 假设存在实数满足条件，因为，

，

所以，所以，所以，

故存在满足条件；

(3)因为，所以，

所以，所以，

又因为，所以，

所以，取等号时，

所以，所以.