题目内容
【题目】过抛物线外一点M作抛物线的两条切线,两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为,点P,Q在直线l:
上,过P,Q两点对应的切点弦分别为AB,CD
当点P在l上移动时,直线AB是否经过某一定点,若有,请求出该定点的坐标;如果没有,请说明理由
当
时,点P,Q在什么位置时,
取得最小值?
【答案】(1)直线AB经过定点 ;(2)当
,
时,
取得最小值4.
【解析】
设
,
,
,根据导数的几何意义,分别求出直线PA,PB的方程可得,可得直线AB的方程进而求出定点.
设
,
,根据
可得
,妨设
,则
,且
,
,根据基本不等式即可求出.
解:设
,
,
,
则,
,
抛物线的方程可变形为,则
,
直线PA的斜率为
,
直线PA的方程
,化简
,
同理可得直线PB的方程为,
由可得
,
直线AB的方程为
,则
是方程的解,
直线AB经过定点
.
设
,
,
由可知
,
,
,
,即
,
,
异号,
不妨设,则
,且
,
,当且仅当
,
时取等号,
即当,
时,
取得最小值4
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