题目内容
【题目】如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝
CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥平面PBC．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）取
的中点
，连
，
，可证得四边形
为平行四边形，于是
，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）在等腰中梯形
中，取
的中点
，连
，
，证得四边形
为菱形，进而得
．同理四边形
为菱形，可得
．再由平面
平面得到
平面，于是得
，最后根据线面垂直的判定可得
平面
．
证明：（1）如图，取的中点，连，，
∵
为
的中点，为的中点，
∴
，
．
又
，
，
∴
，
，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又
平面，
平面，
∴
平面
（2）如图，在等腰中梯形中，取的中点，连，．
∵，，
∴
，
，
∴四边形为平行四边形．
又
，
∴四边形为菱形，
∴．
同理，四边形为菱形，
∴
．
∵，
∴．
∵平面平面，平面
平面
，
，
平面
，
∴平面，
又
平面，
∴．
∵，
，
∴平面．
【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为
件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
第一段生产的半成品质量指标 |
|
|
|
第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
从第一道生产工序抽样调查了
件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是
万元，使用寿命是
年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布
，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.
（参考数据：
，
，
）
