Question

已知

a

，

b

，

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，2）．
（Ⅰ）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求向量

c

；
（Ⅱ）若|

b

|=

3 5

2

，且

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，求

a

与

b

的夹角的正弦值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用向量共线定理即可得出；
（II））由

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，可得（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=0，利用数量积的运算性质展开即可得出．

解答： 解：（I）∵

c

∥

a

，可设

c

=λ

a

，∴|

c

|=|λ| |

a

|，2

5

=|λ|•

5

，
解得λ=±2，
∴

c

=2

a

=（2，4），或

c

=-2

a

=（-2，-4）．
（II）∵

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，
∴（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=0，
化为2

a

2-2

b

2+3

a

•

b

=0，
∴2×5-2×

45

4

+3

5

×

3 5

2

cosθ=0，
∴cosθ=

5

9

，sinθ=

2 14

9

，
∴

a

与

b

的夹角的正弦值

2 14

9

．

点评：本题考查了向量共线定理、数量积的运算性质、同角三角函数的平方关系，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．