Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC，E、F分别为AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（3）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明EF∥PA，再证明CD⊥平面PAD，即可证明EF⊥CD；
（2）利用V_F-DEB=V_B-DEF，可求B到平面DEF的距离，即可求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（3）G是AD的中点．取PC的中点H，连结DH，证明DH⊥平面PCB，取DA中点G，连结GF、FH．证明四边形DGFH为平行四边形即可．

解答： （1）证明：∵E、F分别是AB、PB的中点，∴EF∥PA
∵ABCD为正方形，∴AD⊥CD
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD
∵AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD，∴PA⊥CD
∴EF⊥CD；
（2）解：设B到平面DEF的距离为h，AB=a，则由题意

1

3

S△DEF•d=

1

3

S△DEB•FO.

∵EF2+DF2= 2 4 a2+ 3 4 a2= 5 4 a2=DE2

，∴∠DEF=90°．
∴S△DEF=

6

8

a2，
∴

1

3

×

6

8

a2h=

1

24

a3，
∴h=

6

6

a
∵BD=

2

a
∴DB与平面DEF所成角的正弦值为

6 6 a

2 a

=

3

6

；
（3）解：G是AD的中点．
取PC的中点H，连结DH．∵PD=DC，∴DH⊥PC
又∵BC⊥平面PDC，∴BC⊥DH，∴DH⊥平面PCB．
取DA中点G，连结GF、FH．
∵HF

∥ .

.

1

2

BC

∥ .

.

DG，∴四边形DGFH为平行四边形，
∴DH∥GF，∴GF⊥平面PCB．

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查直线与平面所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．