Question

已知函数y=1-2a-2ax+2x²（-1≤x≤1）的最小值为f（a），求f（a）的表达式，并指出当a∈[-3，0]时，函数M=log

1

3

f（a）的值域．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：先确定函数的对称轴和开口方向，由于函数要求最小值，需分三种情形讨论，最后最小值写成分段函数的形式可得函数f（a）；欲求M=log

1

3

f（a）的值域，根据对数函数的性质，关键是求当a∈[-2，0]时，f（a）的取值范围，结合二次函数的性质即可解决．

解答： 解：∵y=1-2a-2ax+2x²=2(x-

a

2

)2-

a2

2

-2a+1，（-1≤x≤1），
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，y_min=y|_x=-1=f（a）=3；
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，y_min=y|_x=

a

2

=f（a）=-

1

2

a2-2a+1；
当

a

2

＞1，即a＞2时，y_min=y|_x=1=f（a）=3-4a，2(x-

a

2

)2-

a2

2

-2a+111
∴f（a）=

3，a＜-2 - 1 2 a2-2a+1，-2≤a≤2 3-4a，a＞2

当a∈[-2，0]时，M=log

1

3

f（a）=log

1

3

（-

1

2

a2-2a+1），
设u=-

1

2

a2-2a+1=-

1

2

（a+2）²+3，a∈[-2，0]，则1≤u≤3，
此时M=log

1

3

u∈[-1，0]．
函数M=log

1

3

f（a）的值域为[-1，0]．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，特别是求二次函数的最值，需要分类讨论，做到不重不漏，解题时要学会用分类讨论的思想方法解决问题．