Question

已知函数f（x）=

sin2x(sinx-cosx)

cosx

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及最大值；
（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，若f（

5π

24

）=1-

2

sinB，

AB

•

BC

=-

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据分母不得为0，求得x的范围，利用二倍角公式对原式花间，进而求得f（x）的最大值．
（Ⅱ）先根据已知求得sinB的值，则B可得．最后利用周期公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosx≠0知x≠kπ+

π

2

，k∈Z，
即函数f （x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+

π

2

，k∈Z}．
又∵f（x）=

2sinxcosx(sinx-cosx)

cosx

=2sin²x-2sinxcosx=2•

1-cos2x

2

-sin2x=1-（sin2x+cos2x）
=1-

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）_max=1+

2

，
（II）由f（

5π

24

）=1-

2

sinB，
得1-

2

sin

2π

3

=1-

2

sinB，
∴sinB=

3

2

，B=

π

3

又∵

AB

•

BC

=-

2

，即-accosB=-

2

，ac=2

2

，
∴S=

1

2

acsinB．

点评：本题主要考查了二倍角公式和两角和公式的应用，三角函数图象与性质．考查了学生基础知识的运用和分析能力．