Question

3．若函数f（x）满足对于任意实数a，b，c，都有f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则成f（x）为“可构造三角形函数”，已知f（x）=$\frac{{2}^{x}-t}{{2}^{x}+1}$是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． （-∞，0]
• C． [-2，-1]
• D． [-2，-$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t-1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}-t}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{t+1}{{2}^{x}+1}$，
①当t+1=0即t=-1时，f（x）=1，
此时f（a），f（b），f（c）都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意；
②当t+1＞0即t＞-1时，f（x）在R上单调递增，
-t＜f（x）＜1，∴-t＜f（a），f（b），f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c）得-2t≥1，
解得-1＜t≤-$\frac{1}{2}$；
③当t+1＜0即t＜-1时，f（x）在R上单调递减，
又1＜f（x）＜-t，由f（a）+f（b）＞f（c）得2≥-t，
即t≥-2，所以-2≤t＜-1．
综上，t的取值范围是-2$≤t≤-\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题