Question

10．过双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别相交于B，C，且2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 先由双曲线线方程可得A的坐标和直线l的方程，与双曲线的渐近线联立求得B和C的横坐标，进而根据2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，求得b的值，进而根据c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，求得c，最后根据离心率公式答案可得．

解答 解：由题可知A（1，0），
所以直线l的方程为y=x-1．
两条渐近线方程为y=±bx，
联立y=x-1和y=bx，得C的横坐标为x_C=$\frac{1}{1-b}$，
同理得B的横坐标为x_B=$\frac{1}{1+b}$．
∵2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴2（$\frac{1}{1+b}$-1）=$\frac{1}{1-b}$-$\frac{1}{1+b}$，
得b=2或-1（舍去-1）．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考题双曲线性质的综合运用，主要是离心率，解题过程中要注意联立方程求交点，向量的坐标表示的运用．