Question

在各项为正数的数列{a_n}中，已知2a_n=3a_n+1且a₂•a₅=

8

27

（1）求证{a_n}为等比数列
（2）试问

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81

是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）将2a_n=3a_n+1化为

an+1

an

=

2

3

，根据等比数列的定义即可证明{a_n}为等比数列；
（2）由（1）求出公比，再由题意和通项公式求出a₁，即可得an=

3

2

•(

2

3

)n-1，把

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代入通项公式求出n即可．

解答： 证明：（1）由题意得，2a_n=3a_n+1，则

an+1

an

=

2

3

，
所以{a_n}为以

2

3

为公比的等比数列；
解：（2）由（1）得，q=

2

3

，
又a₂•a₅=

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27

，所以（a₁•q）•（a₁•q⁴）=

8

27

，
又各项为正数，所以解得a₁=

3

2

，
则an=

3

2

•(

2

3

)n-1，
令

3

2

•(

2

3

)n-1=

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，得n-1=5，则n=6，
所以

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是这个等比数列中的项，是第6项．

点评：本题考查了利用等比数列的证明方法：定义法，以及等比数列的通项公式的应用，熟练掌握定义和公式是解题的关键．