Question

18．（Ⅰ）已知sinα+cosα=$\frac{12}{13}$，0＜α＜π，求sinα-cosα；
（Ⅱ）已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sin（π-α）），$\overrightarrow{b}$=（2，cosα），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求sin²α+sinαcosα．

Answer 1

分析 （Ⅰ）采用两边同时平方，求出sinαcosα的值，根据完全平方公式求解即可．
（Ⅱ）根据$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，建立等式关系，求出tanα，利用“弦化切”可得sin²α+sinαcosα的值．

解答 解（I）∵sinα+cosα=$\frac{12}{13}$，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{144}{169}$
∴2sinαcosα=$-\frac{25}{169}$＜0，
∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0
则sinα-cosα＞0
可得：（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=$\frac{144}{169}$+$\frac{50}{169}$=$\frac{194}{169}$
∴sinα-cosα=$\frac{\sqrt{194}}{13}$．
（II）∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，sin（π-α）），$\overrightarrow{b}$=（2，cosα），
由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
可得：2sin（π-α）=cosα，
即tanα=$\frac{1}{2}$．
那么：sin²α+sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题