Question

13．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx+1，则f（x）在区间（-∞，-1]上是减函数的概率（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由f（x）在区间（-∞，-1]上是减函数，可得f′（x）=ax+b≤0在区间（-∞，-1]上恒成立，由此列式得到a，b的关系，写出所有数对（a，b），再由古典概型概率计算公式得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx+1，则f′（x）=ax+b，
由题意得f′（x）=ax+b≤0在区间（-∞，-1]上恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-a+b≤0}\end{array}\right.$，即b≤a．
由a∈{2，4}，b∈{1，3}，得数对（a，b）共有（2，1），（2，3），（4，1），（4，3）四对．
满足b≤a的有3对．
∴概率P=$\frac{3}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查古典概型概率计算公式的求法，是基础题．