Question

已知数列的首项其中，

令集合.

（I）若，写出集合中的所有的元素；

（II）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；

（III）求证：.

Answer 1

解：（I）集合的所有元素为：4,5,6,2,3,1..

（II）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，

如果是3的倍数，则；如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.

所以，该7项的等比数列的公比为.

又因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），

设第7项为，则是被3除余1或余2的正整数，则可推得

因为，所以或.

由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于2014的各项只有：

或,或,

所以首项的所有可能取值的集合为

{,}.        

（III）若被3除余1，则由已知可得,；

若被3除余2,则由已知可得,,；

若被3除余0，则由已知可得,；

所以，

所以

所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.

因为，所以.

所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）

若,结论得证.

若,则；若,则,

所以.