Question

已知函数f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a在定义域上有零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：令x+

1

x

=t，当x＞0时，t≥2；当x＜0时，t≤-2．因此函数f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a=t²+at+a-2=g（t），（t≥2或t≤-2）在定义域上有零点，等价于求函数a=

2-t2

t+1

=g（t）（t≥2或t≤-2）的值域．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．

解答： 解：令x+

1

x

=t，当x＞0时，t≥2；当x＜0时，t≤-2．
∴函数f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a=t²+at+a-2=g（t），（t≥2或t≤-2）在定义域上有零点，
变形为a=

2-t2

t+1

=g（t）（t≥2或t≤-2）．
g′（t）=

-(t+1)2-1

(t+1)2

＜0，
∴g（t）在t≥2或t≤-2单调递减．
∴a≤g（2）=-

2

3

，或a≥g（-2）=2．
∴实数a的取值范围是(-∞，-

2

3

]∪[2，+∞）．
故答案为：(-∞，-

2

3

]∪[2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了等价转化方法和换元法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．