Question

给出下列命题：
（1）函数f（x）=tanx有无数个零点；
（2）若关于x的方程（

1

2

）^|x|-m=0有解，则实数m的取值范围是（0，1]；
（3）函数f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[-1，1]；
（4）函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）的图象的一个对称中心为（

π

3

，0）；
（5）已知函数f（x）=2cosx，若存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为2π．
其中正确命题的序号是

 

（把你认为正确命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）当x=kπ（k∈Z）时，tanx=0，可知（1）正确；
（2）依题意知m=（

1

2

）^|x|，利用指数函数的单调性与奇偶性可求得m的取值范围，从而可判断（2）的正误；
（3）通过对sinx≥0与sinx＜0的讨论，去掉绝对值符号，可求得函数的值域，从而可判断（3）的正误；
（4）利用正弦函数的对称性由f（

π

3

）=0可判断（4）的正误；
（5）依题意，|x₁-x₂|的最小值为

1

2

T，从而可判断（5）的正误．

解答： 解：（1）当x=kπ（k∈Z）时，tanx=0，故函数f（x）=tanx有无数个零点，正确；
（2）∵（

1

2

）^|x|-m=0，
∴m=（

1

2

）^|x|，
当x≥0时，0＜（

1

2

）^x≤1，又y=（

1

2

）^x为偶函数，
∴当x＜0时，（

1

2

）^|x|，∈（0，1]；
∴关于x的方程（

1

2

）^|x|-m=0有解，则实数m的取值范围是m=（

1

2

）^|x|∈（0，1]，即（2）正确；
（3）当sinx≥0时，f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|=sinx，故0≤f（x）≤1；
当sinx＜0时，f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|=

1

2

sinx-

1

2

sinx=0；
综上所述，函数f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[0，1]，故（3）错误；
（4）∵f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

+

π

3

）=0，
∴函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）的图象的一个对称中心为（

π

3

，0），正确；
（5）依题意，|x₁-x₂|的最小值为

1

2

T=

1

2

×

2π

1

=π，故（5）错误；
综上所述，正确命题的序号是（1）（2）（4），
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角函数的图象与性质，考查指数函数的单调性与奇偶性，属于中档题．