Question

9．在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=$\frac{1}{2}$BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：ED∥面PAB；
（Ⅱ）若PB=PC=2，求点P到面ABCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，证明：四边形ADEF是平行四边形，可得DE∥AF，即可证明ED∥面PAB；
（Ⅱ）取BC的中点M，连接AM，面PAC内做PH⊥AC于H，又面PAC⊥面ABCD，且面PAC∩面ABCD=AC，所以PH⊥面ABCD，即可求点P到面ABCD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．（1分）
因为EF是△PBC的中位线，所以$EF\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BC$．（2分）
又$AD\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BC$，所以$AD\underline{\underline{∥}}EF$，所以四边形ADEF是平行四边形．（3分）
所以DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，所以ED∥面PAB．（5分）
（Ⅱ）解：取BC的中点M，连接AM，则$AD\underline{\underline{∥}}MC$，
所以四边形ADCM是平行四边形．
所以AM=MC=MB，所以A在以BC为直径的圆上．（6分）
所以AB⊥AC，可得$AC=\sqrt{3}$．（7分）
因为面PAC⊥面ABCD，且面PAC∩面ABCD=AC，
所以AB⊥面PAC，（8分）
即AB⊥PA，可得$PA=\sqrt{3}$．（9分）
在面PAC内做PH⊥AC于H，又面PAC⊥面ABCD，且面PAC∩面ABCD=AC，所以PH⊥面ABCD．（10分）
由余弦定理可得$cos∠PAC=\frac{{P{A^2}+C{A^2}-P{C^2}}}{2•PA•CA}=\frac{1}{3}$，所以$sin∠PAC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．（11分）$PH=PA•sin∠PAC=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即P到面ABCD的距离为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查点面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．