Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂、A为上顶点，AF₁交椭圆E于另一点B，且△ABF₂的周长为8，离心率e=

2

2

．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M，N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过x轴上的定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8⇒a=2，再由离心率e=

2

2

，求出c，可得b，从而可以求出椭圆E的标准方程；
（2）由题设条件可知M，N的坐标，从而可得直线MN的方程，由此可推导出直线MN过定点．

解答： 解：（1）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8，∴a=2
∵离心率e=

2

2

，∴c=

2

，
∴b=

2

∴椭圆E的标准方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）设以M为中点的弦x=my+1与椭圆交于（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
x=my+1代入

x2

4

+

y2

2

=1可得（m²+2）y²+2my-3=0，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=

4

m2+2

∴M（

2

m2+2

，-

m

m2+2

），
同理N（

2m2

2m2+1

，

m

2m2+1

），
∴k_MN=

3m

2(m2-1)

，MN：y+

m

m2+2

=

3m

2(m2-1)

（x-

2

m2+2

），
整理得y=

3m

2(m2-1)

（x-

2

3

），
∴直线MN过定点（

2

3

，0）．
当直线P₁Q₁的斜率不存在或为零时，P₁Q₁、P₂Q₂的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，也过此定点，
∴直线MN过定点（

2

3

，0）．

点评：本题主要考查直线、椭圆的基础知识，考查函数与方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题．