Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=x-2；
（1）求证：函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁≥0，x₂＞0），若直线PQ∥x轴，求P，Q两点间的最短距离．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出导函数f′（x），证明f′（0）≥0，即可得出结论；
（2）根据题意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=e^x+sinx-x+2（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．

解答： （1）证明：x≥0时，f'（x）=e^x+cosx≥1+cosx≥0，
所以函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增；---------------------------（6分）
（2）解：因为f（x₁）=g（x₂），所以ex1+sinx1=x2-2---------------------（8分）
所以P，Q两点间的距离等于|x₂-x₁|=|ex1+sinx1-x1+2|，------（9分）
设h（x）=e^x+sinx-x+2（x≥0），则h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），
记l（x）=h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），则l'（x）=e^x-sinx≥1-sinx≥0，
所以h'（x）≥h'（0）=1＞0，------------------------------------（12分）
所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3------------（14分）
所以|x₂-x₁|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3．---------------（15分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．