题目内容

双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右焦点为F1，F2，P是双曲线左支上一点，满足|
PF1
|=|
F1F2
|，直线PF2与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率e为
 
．
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先设PF2与圆相切于点M，利用|
PF1
|=|
F1F2
|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．
解答： 解：设PF2与圆相切于点M，∵|
PF1
|=|
F1F2
|，
∴△PF1F2为等腰三角形，
∴|F2M|=
1
4
|PF2|，
又在直角△F2MO中，|F2M|2=|F2O|2-a2=c2-a2，
∴|F2M|=b=
1
4
|PF2|①
又|PF2|=|PF1|+2a=2c+2a   ②，
c2=a2+b2 ③
由①②③解得e=
c
a
=
5
3
．
故答案为：
5
3
．
点评：本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3，若a1，a2，a3成等比数列，且n≥3时，an＞0
（1）求证：当n≥3时，{an}成等差数列；
（2）求{an}的前n项和Sn．
记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知实数1≤x≤y且三数能构成三角形的三边长，若t=max{
1
x
，
x
y
，y}•min{
1
x
，
x
y
，y}，则t的取值范围是
 
．
已知单位向量
i
，
j
，
k
两两所成的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠
π
2
），若空间向量
a
满足
a
=x
i
+y
j
+z
k
（x，y，z∈R），则有序实数对（x，y，z）称为向量
a
在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作
a
=（x，y，z）θ．有下列命题：
①已知
a
=（2，0，-1）θ，
b
=（1，0，2）θ，则
a
•
b
=0；
②已知
a
=(x，y，0)
π
3
，
b
=(0，0，z)
π
3
，其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量
a
•
b
的夹角取得最小值；
③已知
a
=（x1，y1，z1）θ，
b
=（x2，y2，z2）θ，则
a
-
b
=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)θ；
④已知
OA
=(1，0，0)
π
3
，
OB
=(0，1，0)
π
3
，
OC
=(0，0，1)
π
3
，则三棱锥O-ABC体积为V=
2
12
．
其中真命题有
 
（填写真命题的所有序号）．
阅读如图所示的程序框图，输出结果s的值为
 
．
正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则点A到侧面PBC的距离是（　　）
A、
5
B、2
2
C、
2
D、
6
5
5
已知∠BAC在平面α内，PA是α的斜线，若∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，PA=a，则点P到平面α的距离为（　　）
A、
3
3
a
B、
3
2
a
C、
6
3
a
D、
6
2
a
对于平面α和两条不同的直线m，n，下列命题是真命题的是（　　）
A、若m⊥α，n⊥α，则m∥n
B、若m∥α，n∥α则m∥n
C、若m⊥α，m⊥n则n∥α
D、若m，n与α所成的角相等，则m∥n
已知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），对定义域内的任意x，满足f（x）+f（-x）=0，当x＜-1时，f(x)=
1+ln(-x-1)
x+a
（a为常），且x=2是函数f（x）的一个极值点，
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f(x)≥
m
x
恒成立，求实数m的最大值；
（Ⅲ）求证：n-2(
1
2
+
2
3
+
3
4
+…+
n
n+1
)＜ln(n+1)．

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