Question

如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设

a

=

AB

，

b

=

AD

，

c

=A

M

，试以

a

，

b

，

c

为基向量表示出向量

BN

，并求BN的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知条件推导出

BN

=

1

2

(

BC

+

BM

)=-

1

2

a

+

1

2

b

+

1

2

c

．由已知条件知|

a

|=|

b

|=2，|

c

|=3，

a

•

b

=0，

a

•

c

=

b

•

c

=3，由此利用

BN

2=（-

1

2

a

+

1

2

b

+

1

2

c

）²能求出BN的长．

解答： 解：∵N是CM的中点，设

a

=

AB

，

b

=

AD

，

c

=A

M

，
底面ABCD是边长为2的正方形，
∴

BN

=

1

2

(

BC

+

BM

)
=

1

2

(

AD

+

BA

+

AM

)
=-

1

2

a

+

1

2

b

+

1

2

c

．
∵在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，
侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，
∴|

a

|=|

b

|=2，|

c

|=3，

a

•

b

=0，

a

•

c

=2×3×cos60°=3，

b

•

c

=2×3×cos60°=3，
∴

BN

2=（-

1

2

a

+

1

2

b

+

1

2

c

）²
=1+1+

9

4

-

1

2

×3+

1

2

×3=

17

4

，
∴|

BN

|=

17

2

，即BN的长为

17

2

．

点评：本题考查向量的表示和线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．