Question

已知函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+cos²（

π

2

+x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且f（

c

2

）=-

1

4

，边c=2，∠C为锐角，△ABC的内切圆半径为

3

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）函数解析式利用诱导公式变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可确定出f（x）的得到递增区间；
（2）由f（

C

2

）=-

1

4

，求出C的度数，再由c的值，利用余弦定理列出关系式，记作①，利用三角形面积公式列出关系式，记作②，联立①②求出a+b的值，即可确定出三角形ABC的面积．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x+

π

3

）+cos²（

π

2

+x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），得函数f（x）的单调递增区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z）；
（2）∵f（

C

2

）=-

1

4

，
∴f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，即

3

2

sinC=

3

4

，
∴sinC=

3

2

，
∵∠C为锐角，
∴C=

π

3

．
∵c=2，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=4①，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

（a+b+c）r，r为内切圆半径，
∴

3

2

ab=

3

3

（a+b+2），
整理得：3ab=2（a+b+2）②，
②代入①得：（a+b）²-2（a+b）-8=0，
即（a+b-4）（a+b+2）=0，
解得：a+b=4或a+b=-2（舍去），
则S_△ABC=

1

2

×（4+2）×

3

3

=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．