Question

袋中装有m个红球和n个白球（m≥n≥2），这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，从袋中同时取出2个球，
（1）若取出的两个球都是红球的概率是取出的两个球是1红1白的概率的整数倍，试证：m必为奇数．
（2）若取出的球是同色球的概率等于取出不同色球的概率，试求适合m+n≤40的所有数组（m，n）．

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用,古典概型及其概率计算公式

专题：

分析：（1）根据题意，先利用组合数公式计算出从“袋中任取2个”、“取出两个球都是红球”、“取出的两个球是1红1白”的取法数目，进而可以结合古典概型公式计算出“取出两个球都是红球”的概率与“取出的两个球是1红1白”的概率，又由题意可得有

C 2 m C 2 m+n

C 1 m C 1 n C 2 m+n

=k(k∈Z)，将其变形可得m=2kn+1，即可得证明；
（2）结合（1）中“取出的两个球是1红1白”的概率，由对立事件的概率性质可得“取出球是同色球”的概率，结合题意分析可得

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

=

1

2

，变形可得（m-n）²=m+n，
即m+n为完全平方数，进而可以确定m+n的范围，即可得m+n的值，结合（m-n）²=m+n可得m、n的值，综合可得答案．

解答： 解：（1）证明：根据题意，
袋中装有m个红球和n个白球，从中任取2个，有

C

2 m+n

种不同的取法，
其中取出两个球都是红球的取法有

C

2 m

种，
取出的两个球是1红1白的取法有

C

1 m

•

C

1 n

种，
则取出两个球都是红球的概率为

C 2 m

C 2 m+n

，取出的两个球是1红1白的概率为

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
又由题意，取出的两个球都是红球的概率是取出的两个球是1红1白的概率的整数倍，
则有

C 2 m C 2 m+n

C 1 m C 1 n C 2 m+n

=k(k∈Z)，变形可得m=2kn+1，∵k∈Z，n∈N，∴m必为奇数；
（2）由（1）的结论，取出的两个球是1红1白即颜色不同的概率为

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
则取出球是同色球的概率为1-

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
又由取出的球是同色球的概率等于取出不同色球的概率，则有

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

=

1

2

，
变形可得（m-n）²=m+n，
即m+n为完全平方数，
又m+n≤40且m≥n≥2，
则4＜m+n≤40且m+n为完全平方数；
则m+n=36或25或16或9，
m+n=36时，（m-n）²=36，即m-n=6，解可得m=21、n=15，
m+n=25时，（m-n）²=25，即m-n=5，解可得m=15、n=10，
m+n=16时，（m-n）²=16，即m-n=4，解可得m=10、n=6，
m+n=9时，（m-n）²=9，即m-n=，解可得m=6、n=3，
符合题意的数组共四组（m，n），结果为（21，15），（15，10），（10，6），（6，3）．

点评：本题考查古典概型的计算，涉及排列、组合的应用，关键是正确运用排列、组合公式，准确计算出各个事件的概率．