Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点M、N分别为侧棱PD、PC的中点．
（1）求证：CD∥平面AMN；
（2）求证：AM⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C-AMN的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理，只要证明CD∥MN；
（2）根据线面垂直的判定定理，只要证明AM⊥PD，AM⊥CD即可；
（3）利用三棱锥的体积公式，只要求出三棱锥A-PCD的条件即可．

解答： 证明：（1）∵M，N分别是侧棱PD，PC的中点，

CD∥MN CD?面AMN MN⊆面AMN

⇒CD∥面AMN；
（2）∵PA=AD，CD⊥DA，
∴AM⊥PD，
又

PA⊥CD CD⊥DA PA∩AD=A

⇒CD⊥面PAD，
∵AM?PAD，
∴CD⊥AM，
又PD∩CD=D，
AM⊥面PCD；
（3）VC-AMN=VA-MNC=

1

3

SMNC•AM=

1

3

×

1

2

×

1

2

S_PCD•AM=

1

3

×

1

4

SPCD•AM=

1

3

×

1

4

×

1

2

×2×2

2

×

2

=

1

3

．

点评：本题考查了空间线面关系，利用判定定理判定线面平行和线面垂直．