Question

已知2^x≤（

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4

）^x-3．
（1）求此不等式的解集
（2）求函数y=ax2-6x（a＞0，且a≠1）的值域．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的值域

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由2^x≤（

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）^x-3 可得 2^x≤2^6-2x，由此求得不等式的解集．
（2）对于函数y=ax2-6x，令t=x²-6x=（x-3）²-9，求得t的范围，再根据y=a^t，分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分别根据指数函数的单调性求的函数y的值域．

解答： 解：（1）由2^x≤（

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）^x-3 可得 2^x≤2^6-2x，∴x≤6-2x，即 x≤2，
故不等式的解集为 {x|x≤2}．
（2）对于函数y=ax2-6x，令t=x²-6x=（x-3）²-9，∵x≤2，∴t≥-8，
再根据y=a^t，当a＞1时，值域为{y|y≥a^-8}；当0＜a＜1时，值域为{y|0＜y≤a^-8}．

点评：本题主要考查指数函数的单调性，二次函数的性质，街指数不等式，体现了转化的数学思想，属于基础题．