Question

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足S_n=

1

2

(an+

1

an

)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式；
（3）求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：归纳猜想型,等差数列与等比数列

分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式：an=

n

-

n-1

（n∈N*）；
（3）由（2）可得：S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

，利用消去法化简即得．

解答： 解：（1）由题意得，S_n=

1

2

(an+

1

an

)，且a_n＞0，
令n=1得，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，得a₁=1，
令n=2得，a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)得a22+2a2-1=0，解得a₂=

2

-1，
令n=3得，a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，解得a₃=

3

-

2

；
（2）根据（1）猜想：an=

n

-

n-1

（n∈N*）；
（3）由（2）可得：
S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

=

n

．

点评：本题主要考查归纳推理、数列递推关系式的应用、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．