Question

距离为3的两个光源A，B的强度分别为a，b，（a＞0，b＞0，），以AB为直径的圆上一点p（P与A，B均不重合）的照度与光源的强度成正比，并且与光源的距离平方成反比，比例系数为k，（k＞0），设AP=x．
（1）试求点P的照度I（x）关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，点P的照度最小．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）先根据题意先表示出点P受光源A的照度和受光源B的照度，可得P的照度I（x）关于x的函数解析式；
（2）利用基本不等式，求出点P的照度最小．

解答： 解：（1）由题意知，点P受光源A的照度为

ak

x2

，受光源B的照度为

bk

(3-x)2

，其中k为比例常数，
∴I（x）=

ak

x2

+

bk

(3-x)2

；
（2）I（x）=

ak

x2

+

bk

(3-x)2

由I′（x）=-

-2ak

x3

+

2bk

(3-x)3

，且I'（x）=0，解得x=

3 3 a

3 a + 3 b

．
所以，0＜x＜

3 3 a

3 a + 3 b

时，I'（x）＜0，I（x）在（0，

3 3 a

3 a + 3 b

）上单调递减；
当

3 3 a

3 a + 3 b

＜x＜3时，I（x）＜0，I（x）在（

3 3 a

3 a + 3 b

，3）上单调递增；
因此x=

3 3 a

3 a + 3 b

时，I（x）取得最小值．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了函数的最值的求解，属于中档题．