Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）
（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（3）当

1

e

＜x＜y＜1时，试比较

y

x

与

1+lny

1+lnx

的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等价于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，构造函数g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，利用导数可求得g（x）_min，从而可求得实数b的取值范围；
（Ⅱ）求导数f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范围；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上递减，从而可得

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y），化简可得结论．

解答： 解：（Ⅰ） 由f（1）=2，得a=1，
∵x＞0，∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等价于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g′（x）=

lnx

x2

∴x∈（0，1]时，g′（x）≤0
∴g（x）在（0，1]上递减，
在[1，+∞）上递增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0；
（Ⅱ）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

，
设h（x）=

lnx

x

（x＞0），则h′（x）=

1-lnx

x2

，
令h′（x）＞0，则0＜x＜e，令h（x）＜0，解得：x＞e，
∴当x=e时，h（x）_max=

1

e

，
∴当a≥

1

2e

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上递减，
∴

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即

1+lnx

x

＞

1+lny

y

，
而

1

e

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性与导数的关系，考查分类讨论思想在分析解决问题中的应用，属于中档题．