Question

18．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O是坐标原点）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上的一点，过P的直线l与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为M，证明：|PF|+|PM|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）由P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}=1$，（0＜x₀＜$\sqrt{2}$），利用两点之间的距离公式丨PF丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x₀），丨PM丨=$\sqrt{丨OP{丨}^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀，即可求证|PF|+|PM|为定值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，①△AOF的面积S=$\frac{1}{2}$×bc=$\frac{1}{2}$，则bc=1，②
a²=b²+c²，③
解得：a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）证明：以椭圆的短轴为直径的圆的方程：x²+y²=1，右焦点为F（1，0），
设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}=1$，
（0＜x₀＜$\sqrt{2}$），
丨PF丨=$\sqrt{（{x}_{0}-1）^{2}+{y}_{0}^{2}}$
=$\sqrt{{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}+1+1-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}+2}$
=$\sqrt{\frac{1}{2}（{x}_{0}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x₀），
又l与圆：x²+y²=1相切于M，
丨PM丨=$\sqrt{丨OP{丨}^{2}-1}$=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-1}$=$\sqrt{{x}_{0}^{2}-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀，
则|PF|+|PM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x₀）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀=$\sqrt{2}$．
∴|PF|+|PM|为定值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．