Question

8．（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

Answer 1

分析 （1）本题是一个分步计数问题，首先选一个不放球的盒子有4种情况，第二步在放球的3个盒子中选一个用来放两个球有3种情况，第三步在四个球中选2个放进第二步选中的盒子中有C₄²种情况，第四步把剩下的两个球放进剩下的两个盒子里，一个盒子一个球有2种情况，得到结果；
（2）根据题意，分2步进行分析：①、从5个球中取出2个与盒子对号，②、剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析可得其放法数目，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分4步进行分析：
①、先选一个不放球的盒子有4种情况，
②、在放球的3个盒子中选一个用来放两个球有3种情况，
③、在四个球中选2个放进第二步选中的盒子中有C₄²=6种情况，
④、把剩下的两个球放进剩下的两个盒子里，一个盒子一个球有2种情况
所以放法总数为4×3×6×2=144种；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、从5个球中取出2个与盒子对号有$C_5^2$种，
②、剩下3个球与3个盒子序号不能对应，
利用枚举法分析，假设剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，
3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，
所以剩下三球只有2种装法，
故总共装法数为$2C_5^2=20$种．

点评 本题考查排列组合的应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．