Question

8．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．线段CF₂的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P．
（1）若椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，△PF₁C的面积为12，求椭圆E的方程；
（2）设S${\;}_{△CM{F}_{2}}$=λ•S${\;}_{△CP{F}_{1}}$，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知b=c，则△F₁CF₂是等腰直角三角形，利用勾股定理及椭圆的定义，求得丨PF₁丨=$\frac{5a}{3}$，丨PF₂丨=$\frac{a}{3}$，丨PC丨=$\frac{4a}{3}$，根据三角形的面积公式，即可求得椭圆E的方程；
（2）求得直线AB及PC的方程，联立求得M点坐标，由题意可知：丨CM丨=λ丨CP丨，根据向量数量积求得P点坐标，代入椭圆方程，利用基本不等式性质即可求得λ的最小值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，
∴△F₁CF₂是等腰直角三角形，丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，则丨PF₂丨=2a-丨PF₁丨，
由勾股定理知，丨PF₁丨²=丨CF₁丨²+丨CP丨²，丨PF₁丨²=a²+（a+丨PF₂丨²）²，
则丨PF₁丨²=a²+（3a-丨PF₁丨²）²，
解得：丨PF₁丨=$\frac{5a}{3}$，丨PF₂丨=$\frac{a}{3}$，丨PC丨=$\frac{4a}{3}$，
∴△PF₁C的面积为S=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{4a}{3}$=12，即a²=18，b²=9．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）设P（x，y），因为直线AB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x+b，直线PC的方程为y=$\frac{b}{c}$-b，
所以联立方程解得M（$\frac{2ac}{a+c}$，$\frac{ab-bc}{a+c}$）．
因为S${\;}_{△CM{F}_{2}}$=λ•S${\;}_{△CP{F}_{1}}$，所以丨CM丨=λ丨CP丨，所以$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CP}$，
∴（$\frac{2ac}{a+c}$，$\frac{ab-bc}{a+c}$）=λ（x，y+b），则x=$\frac{2ac}{λ（a+c）}$，y=$\frac{2ab-λb（a+c）}{a+c}$，
代入椭圆E的方程，得$\frac{4{c}^{2}}{{λ}^{2}（a+c）^{2}}$+$\frac{[2a-λ（a+c）]^{2}}{{λ}^{2}（a+c）^{2}}$=1，
即4c²+[2a-λ（a+c）]²=λ²（a+c）²，
∴λ=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{1+{e}^{2}}{1+e}$=1+e+$\frac{2}{1+e}$-2≥2$\sqrt{（1+e）×\frac{2}{1+e}}$-2=2$\sqrt{2}$-2，
因为0＜e＜1，1＜e+1＜2，
∴当且仅当e+1=$\sqrt{2}$，即e=$\sqrt{2}$-1时，
∴取到最小值2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．