题目内容
19．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为$\frac{a}{2}$，则$\frac{c}{b}$的最大值为$\sqrt{5}$．分析 由已知及余弦定理可求：（$\frac{c}{b}$）2=（$\frac{a}{b}$）2+1-$\frac{2acosC}{b}$，进而可求当cosC=0时，$\frac{c}{b}$取最大值，求得C为直角，利用勾股定理即可计算得解．
解答 解：由题意知c2=a2+b2-2abcosC，
两边同时除以b2，可得：（$\frac{c}{b}$）2=（$\frac{a}{b}$）2+1-$\frac{2acosC}{b}$，
由于a，b，c都为正数，
可得：当cosC=0时，$\frac{c}{b}$取最大值．
由于C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{2}$，
即当BC边上的高与b重合时取得最大值，此时三角形为直角三角形，c2=a2+（$\frac{a}{2}$）2，
解得：$\frac{c}{b}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．
点评 本题主要考查了的考点有：余弦定理；函数的最值，考查了余弦定理及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题．
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如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF∥面PAD．
14．将函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（ ）
| A． | $[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$ | B． | $[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$ | C． | $[{-\frac{π}{12}，\frac{4π}{3}}]$ | D． | $[{-\frac{π}{4}，0}]$ |
11．
如图，在四面体ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow c$，点M在AB上，且AM=$\frac{2}{3}$AB，点N是CD的中点，则$\overrightarrow{MN}$=（ ）
如图，在四面体ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow c$，点M在AB上，且AM=$\frac{2}{3}$AB，点N是CD的中点，则$\overrightarrow{MN}$=（ ）| A． | $\frac{1}{2}\overrightarrow a-\frac{2}{3}\overrightarrow b+\frac{1}{2}\overrightarrow c$ | B． | $-\frac{2}{3}\overrightarrow a+\frac{1}{2}\overrightarrow b+\frac{1}{2}\overrightarrow c$ | C． | $\frac{1}{2}\overrightarrow a+\frac{1}{2}\overrightarrow b-\frac{1}{2}\overrightarrow c$ | D． | $-\frac{2}{3}\overrightarrow a+\frac{2}{3}\overrightarrow b-\frac{1}{2}\overrightarrow c$ |
8．已知sinα=-$\sqrt{3}$cosα，则tan2α=（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $-\sqrt{3}$ |