Question

4．已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α-θ）=sinα．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且$|{\frac{1}{{|{PM}|}}-\frac{1}{{|{PN}|}}}|=\frac{1}{3}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）消去曲线C中的参数，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直线l的直角坐标方程．
（2）利用参数方程的几何意义，求解．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）．cos²φ+sin²φ=1，可得：$（\frac{x}{2}）^{2}+{y}^{2}=1$
故得曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
直线l的极坐标方程为ρsin（α-θ）=sinα
?ρsinαcosθ-ρsinθcosα=sinα
?（x-1）sinα=ycosα
?y=x•tanα-tanα．
故得直线l的直角坐标方程为y=x•tanα-tanα．
（2）由题意，可得直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t•tanα}\\{y=t•tanα}\end{array}\right.$带入曲线C的普通方程可得：（3sin²α+1）+2cosα•t-3=0，
可得：${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{2cosα}{3si{n}^{2}α+1}$，${t}_{1}•{t}_{2}=-\frac{3}{3si{n}^{2}α+1}$．
由$|{\frac{1}{{|{PM}|}}-\frac{1}{{|{PN}|}}}|=\frac{1}{3}$，
可得：|$\frac{|PM|-|PN|}{|PM|•|PN|}$|=|$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$|=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{|-6cosα|}{3si{n}^{2}α+1}$=|$\frac{-3}{3si{n}^{2}α+1}$|，
解得：|cosα|=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{3}$或$α=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互换以及参数方程的几何意义的运用．属于基础题．