Question

4．下列结论：正确的序号是①③④．
①△ABC中，若A＞B则一定有sinA＞sinB成立；
②数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}-2n+1$，则数列{a_n}是等差数列；
③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是$\sqrt{7}＜a＜5$；
④等差数列数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₇+a₈+a₉+a₁₀=24，则S₁₆=96．

Answer 1

分析 ①，△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB成立；
②，利用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{s}_{1，}（n=1）}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1，}（n≥2）}\end{array}\right.$，得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，（n=1）}\\{2n-3，（n≥2）}\end{array}\right.$，即可判定；
③，锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a满足$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{2}+{4}^{2}＞{a}^{2}}\\{{3}^{2}+{a}^{2}＞{4}^{2}}\end{array}\right.$，可得取值范围；
④，由a₇+a₈+a₉+a₁₀=24，a₇+a₁₀=a₉+a₈，得a₇+a₁₀=a₉+a₈=12则S₁₆=$\frac{16}{2}（{a}_{1}+{a}_{16}）=8（{a}_{7}+{a}_{10}）=96$．

解答 解：对于①，△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB成立，故正确；
对于②，数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}-2n+1$，利用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{s}_{1，}（n=1）}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1，}（n≥2）}\end{array}\right.$，得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，（n=1）}\\{2n-3，（n≥2）}\end{array}\right.$，a₁不满足，故错；
对于③，锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a满足$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{2}+{4}^{2}＞{a}^{2}}\\{{3}^{2}+{a}^{2}＞{4}^{2}}\end{array}\right.$，可得取值范围是$\sqrt{7}＜a＜5$，正确；
对于④，等差数列数列{a_n}的前n项和为S_n，由a₇+a₈+a₉+a₁₀=24，a₇+a₁₀=a₉+a₈，得a₇+a₁₀=a₉+a₈=12则S₁₆=$\frac{16}{2}（{a}_{1}+{a}_{16}）=8（{a}_{7}+{a}_{10}）=96$，故正确．
故答案为：①③④

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题．