Question

19．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=b₁=1，且b₃S₃=36，b₂S₂=8．
（1）求数列{a_n}和{b_n}通项公式；
（2）若a_n＜a_n+1，求数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的通项公式以及已知条件列出方程组，求出公差与公比，然后求解通项公式．
（2）利用错位相减法转化求解数列的和即可．

解答 解：（1）设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．
由题意$\left\{\begin{array}{l}{q^2}（3+3d）=36\\ q（2+d）=8\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}d=-\frac{2}{3}\\ q=6\end{array}\right.$，
所以a_n=2n-1，${b_n}={2^{n-1}}$或${a_n}=\frac{1}{3}（5-2n）$，${b_n}={6^{n-1}}$．
（2）若a_n＜a_n+1，由（1）知a_n=2n-1，
∴$\frac{1}{anan+1}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+$…$+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．