Question

16．直线y=2x+b是曲线y=xlnx（x＞0）的一条切线，则实数b为-e．

Answer 1

分析 设切点为（x₀，x₀lnx₀），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx₀+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx₀+1）x-x₀，对照已知直线列出关于x₀、m的方程组，解之即可得到实数m的值．

解答 解：设切点为（x₀，x₀lnx₀），
对y=xlnx求导数，得y′=lnx+1，
∴切线的斜率k=lnx₀+1，
故切线方程为y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
整理得y=（lnx₀+1）x-x₀，
与y=2x+b比较得lnx₀+1=2且-x₀=b，
解得x₀=e，故b=-e．
故b的值为：-e．

点评 本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力，属于中档题．