Question

15．P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一点，F₁、F₂为该椭圆的两个焦点，若∠F₁PF₂=60°，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于2．

Answer 1

分析 由椭圆的定义及余弦定理即可求得|PF₁|•|PF₂|=4，根据向量的数量积即可求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．

解答 解：由椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，则a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
可得焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由椭圆的定义可得m+n=4，
由∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理可得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
∴m²+n²-mn=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-mn=4}\end{array}\right.$，
化为mn=4，即|PF₁|•|PF₂|=4
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=|PF₁|•|PF₂|cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，余弦定理，向量的数量积，考查计算能力，属于中档题．