Question

已知α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），cosα=

5

5

，sin （α-β）=

10

10

，则β=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由已知可得sinα=

1-cos2α

=

2 5

5

，sinβ＞0，

2 5

5

cosβ=

5

5

sinβ+

10

10

，两边平方整理得方程：sin²β+

2

5

sinβ-

7

10

=0，结合角的范围即可得解．

解答： 解：∵α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），cosα=

5

5

，sin （α-β）=

10

10

，
∴可得：sinα=

1-cos2α

=

2 5

5

，sinβ＞0，
∴sinαcosβ-cosαsinβ=

2 5

5

cosβ-

5

5

sinβ=

10

10

，
有

2 5

5

cosβ=

5

5

sinβ+

10

10

，
∴两边平方，整理可得：sin²β+

2

5

sinβ-

7

10

=0
∴可解得：sinβ=

2

2

．
∴可得β=

3π

4

．
故答案为：

3π

4

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了三角函数恒等变换，属于基本知识的考查．