Question

已知整数数集 A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，n≥3）具有性质 P：对任意i，j，k（1≤i＜j＜k），a_i+a_k-a_j∈A．
（Ⅰ）请举出一个满足上述条件且含有5个元素的数集 A；
（Ⅱ）求证：a₁，a₂，a₃，…，a_n是等差数列；
（Ⅲ）已知a₁=2，a_n=2015，且20∈A⊆N，求数集 A中所有元素的和的最小值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）5个元素能构成等差数列即可；
（Ⅱ）a_k+a_k+2-a_k+1∈A且a_k＜a_k+a_k+2-a_k+1＜a_k+2，可得a_k+1=a_k+a_k+2-a_k+1，即可证明结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2，a₂，a₃，…，2015是等差数列，确定d是18和2013的公约数，利用求和公式，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意A={1，2，3，4，5}；
（Ⅱ）证明：对任意k+2≤n，由性质P可得a_k+a_k+2-a_k+1∈A，
∵a_k＜a_k+1＜a_k+2，
∴a_k+a_k+2-a_k+1∈A且a_k＜a_k+a_k+2-a_k+1＜a_k+2，
∴a_k+1=a_k+a_k+2-a_k+1，
∴2a_k+1=a_k+a_k+2，
∴a₁，a₂，a₃，…，a_n是等差数列；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，2，a₂，a₃，…，2015是等差数列，
不妨设公差为d，a_k=20，
则20-2=（k-1）d，2015-2=（n-1）d，
∵A⊆N，
∴d是18和2013的公约数，
由等差数列求和公式可得S_n=

2+2015

2

×n=

2+2015

2

×(

2013

d

+1)，
∴d越大，S_n越小，
∴d为18和2013的最大公约数3时，S_n最小，最小为677712．

点评：本题考查数列的应用，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．