Question

如图，在△ABC中，AD是的∠A的平分线，圆O经过点A与BC切于点D，与AB，AC相交于E、F，连结DF，DE．
（Ⅰ）求证：EF∥BC；    
（Ⅱ）求证：DF²=AF•BE．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的判定定理的证明

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）证明EF∥BC，只需证明∠FDC=∠EFD，利用圆的切线的性质可得；    
（Ⅱ）证明DF²=AF•BE，只需证明△AFD∽△DEB．

解答： 证明：（Ⅰ）因为BC是圆O的切线，所以∠FDC=∠FAD，
又因为∠EAD=∠EFD，且∠EAD=∠FAD，
所以∠FDC=∠EFD，
所以EF∥BC．-----------（5分）
（Ⅱ） 连接ED，△AFD，△DEB中，∠EDB=∠EAD=∠FAD，∠BED=∠DFA，
所以△AFD∽△DEB，
所以

AF

DE

=

FD

EB

，
又因为DE=DF，
所以DF²=AF•BE．-----------（10分）

点评：本题考查三角形的相似，考查圆的切线性质，考查学生分析解决问题的能力，正确判断三角形相似是关键．