Question

已知函数f（x）=a（x+

1

x

）+2lnx，g（x）=x²．
（Ⅰ）若a＞0且a≠2，直线l与函数f（x）和g（x）的图象切于同一点，求切线l的方程；
（Ⅱ）若?x₁[e^-1，e]，?x₂[-1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）的定义域，设出切点为（x₀，y₀），由f′（x₀）=g′（x₀），求出x₀的值，从而得出y₀，写出切线l的方程；
（Ⅱ）x∈[-1，2]时，g_min（x）=0；根据题意只需?x∈[e^-1，e]时，f（x）＞0成立，即a（x+

1

x

）+2lnx＞0，得a＞

-2lnx

x+ 1 x

=

-2xlnx

x2+1

；求u（x）=

xlnx

x2+1

的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是{x|x＞0}，设切点为（x₀，y₀），
由题意，f′（x₀）=g′（x₀），即a（1-

1

x02

）+

2

x0

=2x₀，
整理，得（x₀+1）（x₀-1）（x₀-

a

2

）=0；
∴x₀=-1（舍去），x₀=1，或x₀=

a

2

；
x₀=1时，f′（x₀）=g′（x₀）=2，且f（x₀）=g（x₀）=1，
此时，l的方程为y=2x-1，
x₀=

a

2

时，f′（x₀）=g′（x₀）=a，且g（x₀）=

a2

4

；
同时存在a＞0且a≠2使f（

a

2

）=

a2

4

成立，
∵记h（a）=f（

a

2

）-

a2

4

=a（

a

2

+

2

a

）+2ln

a

2

-

a2

4

=2ln

a

2

+

a2

4

+2
在（0，+∞）上是增函数，且h（

2

e2

）•h（2）＜0，
∴h（a）=0有解，即存在a使得f（

a

2

）=

a2

4

=g（

a

2

）成立，
此时l的方程为y=ax-

a2

4

；
综上，切线l的方程为y=2x-1，或y=ax-

a2

4

．
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，g_min（x）=0；
要使任意的x₁∈[e^-1，e]，存在x₂∈[-1，2]，
使得不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，
只需任意的x∈[e^-1，e]时，f（x）＞0成立，
即a（x+

1

x

）+2lnx＞0，
解得a＞

-2lnx

x+ 1 x

=

-2xlnx

x2+1

；
记u（x）=

xlnx

x2+1

，u′（x）=

(lnx+1)(x2+1)-2x2lnx

(x2+1)2

=

x2(1-lnx)+1+lnx

(x2+1)2

；
∵x∈[e^-1，e]，∴-1≤lnx≤1，
∴u′（x）＞0，u（x）在[e^-1，e]上是增函数，
∴u（x）_min=u（e^-1）=-

e

e2+1

；
∴

-2xlnx

x2+1

最大值是

2e

e2+1

，
只需a＞

2e

e2+1

；
∴a的取值范围是（

2e

e2+1

，+∞）．

点评：本题考查了函数的导数综合应用问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性以及求函数的最值，求函数在某一点处的切线方程，是综合题．