Question

已知函数f（x）=

4cos4x-2cos2x-1

cos2x

（Ⅰ）求f（-

11π

12

）的值；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

）时，求g（x）=f（x）+sin2x的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（I）由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x，代值计算可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由x∈[0，

π

4

）和三角函数的值域可得．

解答： 解：（I）化简可得f（x）=

4cos4x-2cos2x-1

cos2x

=

(2cos2x-1)(2cos2x+1)-2cos2x

cos2x

=

cos2x(2cos2x+1)-2cos2x

cos2x

=2cos²x+1-2=2cos²x-1=cos2x，
∴f（-

11π

12

）=cos（-

11π

6

）=cos

π

6

=

3

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g（x）=f（x）+sin2x
=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈[0，

π

4

），∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

），
∴sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，
∴

2

sin（2x+

π

4

）∈[1，

2

]，
∴g（x）的最小值是1，最大值是

2

点评：本题考查三角函数的最值，熟练应用公式化简已知函数是解决问题的关键，属中档题．