Question

设函数f（x）=x²+ax+b的值域为A，关于x的不等式f（x）＜c的解集为B．
（1）若a=4，b=-2．c=3，求集合A与B；
（2）若A=[0，+∞），B=（m，m+6），求实数c的值．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）a=4，b=-2，c=3时，求出f（x）的值域A与不等式f（x）＜c的解集B；
（2）根据f（x）的值域A得出△=0①，不等式f（x）＜c的解集为B得出a²-4（b-c）=6²②；由①②求出c的值．

解答： 解：（1）a=4，b=-2，c=3时，
f（x）=x²+4x-2=（x+2）²-6≥-6；
∴函数的值域为A=[-6，+∞）；
又∵f（x）＜c，
∴x²+4x-5＜0，
解得-5＜x＜1；
∴不等式的解集为B=（-5，1）；
（2）∵A=[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b≥0，
即△=a²-4b=0①；
又设f（x）-c=x²+ax+b-c=0的两个实数根为x₁、x₂，
且B=（m，m+6），
∴(x1-x2)2=a²-4（b-c）②；
由①②知，6²=4c，
∴c=9．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．