Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且3S₁，2S₂，S₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n，求T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由3S₁，2S₂，S₃成等差数列，求得公比q，写出通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=log₃a_n=log33n=n，b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=（2n-1）•2n-2n（2n+1）=-4n，利用分组求和，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵3S₁，2S₂，S₃成等差数列，∴4S₂=3S₁+S₃，
∴4（a₁+a₂）=3a₁+（a₁+a₂+a₃），即a₃=3a₂，∴公比q=3，
∴a_n=a₁q^n-1=3ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=log₃a_n=log33n=n，
∵b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=（2n-1）•2n-2n（2n+1）=-4n，
∴T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=-4（1+2+3+…+n）=-4×

n(n+1)

2

=-2n²-2n．…（12分）

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的定义及性质，考查分组求和的方法及学生的运算能力，属中档题．